lunes, 6 de enero de 2014

PROGRESIONES ARITMETICAS

En matemáticas, una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia o incluso "distancia".
Por ejemplo, la sucesión matemática: 3, 5, 7, 9, 11,... es una progresión aritmética de constante (o diferencia común) 2. Así como: 5 ; 2 ; -1 ; -4 es una progresión aritmética de constante "-3".


TERMINO GENERAL DE UNA PROGRESION ARITMETICA

El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término restándole la diferencia al término siguiente. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es:
a_n = a_1 + {(n-1)}{d} \,
Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión aritmética es a\, y la diferencia común es d\,, entonces el término n\,-ésimo de la sucesión viene dada por
a + nd\,,    n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero.
a + (n-1)d\,    n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero.
La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, ya que es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. Generalizando, sea la progresión aritmética:

a_1, a_2, a_3,..., a_m,..., a_n\, de diferencia d\,
tenemos que:
a_1 = a_1\,
a_2 = a_1 + d\,
a_3 = a_2 + d\,
...
a_{n-1} = a_{n-2} + d\,
a_n = a_{n-1} + d\,
sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos:
(I) a_n = a_1 + (n-1)d\,
expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia. Pero también podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos a_m\, y a_n\, (m<n\,) de la progresión anterior y pongámolos en función de a_1\,:
a_m = a_1 + (m-1)d\,
a_n = a_1 + (n-1)d\,
Restando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos:
(II) a_n = a_m + (n-m)d\,
expresión más general que (I) pues nos da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.
Dependiendo de que la diferencia d\, de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos:
d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.
  • Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... (d=3)
d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.
  • Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... (d=0)
d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior.
  • Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... (d=-2)



PROGRESIONES GEOMETRICAS

Una progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.

Así, 5, 15, 45, 135, 405,...\, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
1215 = 405 × 3
3645 = 1215 × 3
y así sucesivamente.
Aunque es más fácil aplicando la fórmula:
a_n = {a_1}{r^{(n-1)}}\,
Siendo a_n\, el término en cuestión, a_1\, el primer término y r\, la razón:
a_n = {a_1}{r^{(n-1)}}\,
Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión
a_6 = {5}({3^{(6-1)}})\,
a_6 = {5}({3^5})\,
a_6 = {5}(243)\,
a_6= 1215\,


Ejemplos de progresiones geométricas

  • La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
  • La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.
  • La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
  • Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7
  • Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que r \ne 0 en la definición.

Suma de términos de una progresión geométrica

Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica

Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.
S_n r = (a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + a_n) r \Rightarrow S_n r = a_1 r + a_2 r + ... + a_{n-1} r + a_n r
Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión,
S_n r = a_2 + a_3 + ... + a_n + a_n r
Si se procede a restar de esta igualdad la primera:
Sn r =a2+a3+ ... + an-1 + an + an r
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
_______________________________
Sn r - Sn = - a1 + an r
o lo que es lo mismo,
Sn ( r - 1 ) = an r - a1
Si se despeja Sn,
S_n = \cfrac { a_n r - a_1 } { r - 1 }
De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión an como
a_n = {a_1}{r^{(n-1)}}\,
Así, al sustituirlo en la fórmula anterior se tiene lo siguiente:
S_n = \cfrac { a_1 r^{n-1} r - a_1 } { r - 1 } = \cfrac { a_1 r^n - a_1 } { r - 1 } = \cfrac { a_1 ( r^n - 1 ) } { r - 1 }
con lo que se obtiene la siguiente igualdad:
S_n = a_1 \cfrac { r^n - 1} { r - 1 }
Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.
Si queremos calcular el resultado de una suma de n términos consecutivos, pero sin que empiece en cero, debemos utilizar la expresión:
\sum_{k=m}^n ar^k=\frac{a(r^{n+1}-r^m)}{r-1}.

Suma de infinitos términos de una progresión geométrica

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad |r|<1, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si |r| < 1 , r^\infty tiende hacia 0, de modo que:
S_\infty = a_1 \cfrac{r^\infty - 1}{r - 1}=a_1 \cfrac{0 - 1}{r - 1}=\cfrac{a_1}{1 - r}
En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula:
S_\infty = \cfrac{a_1}{1 - r}
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SUCECIONES

Una sucesión es una conjunto de números u objetos formado de acuerdo con una ley. Cada elemento de ella se denomina termino. Se dice que una sucesión es finita si hay un primer y un ultimo termino y se dice que es infinita si no tiene un primer o un ultimo termino, ejemplo:

 
Finita: 1, 8, 15, 22, 29, 36
 
Infinita: 3, 7, 11, 15, 19...
 
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de números naturales. En general se denota de la siguiente manera:   (an)= a1, a2, a3, ... an
 
El termino general de la sucesión es an; el subíndice indica el lugar que ocupa el termino en la sucesión
 
 
 
SUCECION ARITMETICA
 
Es una sucesión de números, en la cual la diferencia entre dos elementos consecutivos es una constante. Es decir, cualquier término o elemento de la sucesión aritmética es igual al anterior más una constante d  (la diferencia) --a excepción del primer elemento que debe ser dado.  En símbolos: a i+1 −a i =d  . La suma se calcula así:

suma      =a+(a+d)+(a+2d)+⋯+(a+(n−1)d) =na+(1+2+3+⋯+(n−1))d =na+(n−1)n 2  d =2na+n(n−1)d 2   =na+a+(n−1)d 2     


Regla: calculas el promedio del primero y el último y multiplicas por el número de términos.
 
 
 
SUCECION GEOMETRICA
 
También es llamada progresión geométrica, es una sucesión de números en la cual el cociente (la razón) entre dos elementos consecutivos es una constante, en símbolos:
g i  g i−1   =r. 
Es decir, cualquier elemento en la sucesión geométrica es igual al anterior multiplicado por una constante r  (la razón),  en símbolos:
g i =r⋅g i−1 . 
De esta última expresión, se puede obtener la fórmula para el n  -ésimo término de la sucesión:
g n =r n ⋅g 0  
O, equivalentemente, cuando el elemento incial es g 1   :
g n =r n−1 ⋅g 1 . 

Ejemplos:
  • 1, 3, 9, 27, ... es una sucesión geométrica con razón r=3 
  • 6, 3, 1.5, 0.75, 0.375, ... es una progresión geométrica con razón r=0.5 
 
 
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